الفضاء الهرميتي
الفضاء (الواحدي) الهرميتي The Hermitian (Unitary) Space
تعريف: الفضاء الهرميتي هو فضاء عقدي مزود بجداء هرميتي. وقد سمي كذلك نسبة إلى العالم الفرنسي شارل هيرميت (1822-1943).
الفضاء العقدي V complex space هو فضاءٌ متجهي (شعاعي) معرف على حقل الأعداد العقدية C.
الجداء الهرميتي The Hermitian product على فضاء عقدي V هو تطبيق:
خواص الجداء الهرميتي
يتصف الجداء الهرميتي بالخواص الآتية:
1) v"u, v Î V u * v ≠ v * w (الجداء الهرميتي غير تبديلي).
2) v"u, v, w Î V ; (u + v) * w = u * w + v * w (الخاصة التوزيعية من اليمين).
3) v"u, v, w Î V ; w * (u + v) = w * u + w * v (الخاصة التوزيعية من اليسار).
ـ يقال عن مجموعة المتجهات S من الفضاء الهرميتي V إنها متعامدة إذا كان كل متجهين منها متعامدين، وتدعى متعامدة منظمة orthonormal إذا كانت متعامدة وكان نظيم كل متجه منها يساوي الواحد.
ـ أي مجموعـة متجهات متعامدة {b1, b2, …, bn} من فضاء هرميتي V (لا تحوي المتجه الصفري)، تكون مستقلة خطياً. فإذا كان عددها يساوي بعد الفضاء V، كانت قاعدة متعامدة لهذا الفضاء.
ـ إذا كانت {b1, b2, …, bn} قاعدة متعامدة في فضاء هرميتي V، وكان
مثال: إن القاعدة القانونية للفضاء الهرميتي V = Cn هي
{e1 = (1,0,0,…,0), e2 = (0,1,0,…,0), …, en = (0,0,0,…,0,1)}
فإذا كان x, y Î V حيث {x = (x1, x2, …, xn) y = (y1, y2, …, yn)
فإن:
يدعى مسقط (مرتسم) u القائم على v.
ـ إذا كان V فضاءً هرميتياً وكانت {a1, a2, …, a n} قاعدة للفضاء V فإن طريقة غرام - شميدت تعين قاعدة متعامدة منظمة {e1, e2, …, e n} للفضاء V كما يأتي:
b1 = a1
b2 = a2- Prb1(a2)
b3 = a3 - Prb2(a3) - Prb2(a3)
.
.
.
bn = an - Prb2(an) - Prb2(an) - ….. - Prbn-1(an)
إن {b1, b2, …, b n} قاعدة متعامدة للفضاء V.
إن القاعدة المتعامدة المنظمة المطلوبة هي:
المصفوفات الهرميتية Hermitian matrices
إن مصفوفة matrix ذات n سطراً وn عموداً، تدعى مصفوفة مربعة من المرتبة (square matrix of order) n.
إن منقول مصفوفة A = [aij] (transpose of a matrix)، من المرتبة m.n، هو مصفوفة B = [bij] من المرتبة m.n؛ حيث bij = aji من أجل جميع قيم i, j؛ ويرمز لها AT.
إذا كانت A مصفوفة مربعة، وكانت A = AT فإن A تدعى مصفوفة متناظرة symmetric matrix.
إذا كانت A = [aij] مصفوفة معرفة على حقل الأعداد العقدية C، فإن مرافق منقول (conjugate transpose of A) vAv هو:
المراجع
الموسوعة العربية
التصانيف
الأبحاث