الحساب العددي
تعريف الحساب العددي وأهميته
الحساب العددي هو مجموعة طرائق تؤدي إلى حلول عددية لعددٍ من المسائل. فالتطور العملي والتقني الهائل وجّه الأنظار إلى أن عدداً كبيراً من المسائل العلمية، الرياضية والفيزيائية والهندسية، يتعذر إيجاد حلول عملية لها بالطرائق التحليلية، مما دفع العلماء إلى البحث عن طرائق عددية لحل تلك المسائل وتطوير تلك الطرائق وبرمجتها بحيث يستفاد من القدرة الهائلة للحواسيب، الأمر الذي جعل علم الحساب العددي في مقدمة العلوم التطبيقية الحديثة.
ولعل أهم المسائل التي يعالجها هذا العلم
حل المعادلات الجبرية - إيجاد مجموع متسلسلة عددية - إيجاد قيم تكامل محدَّد - حساب مشتق دالة عند نقط معيّنة - إيجاد حل معادلة تفاضلية عادية أو جزئية عند نقط معيّنة - حل مجموعة معادلات خطية... إضافة إلى إعطاء الخوارزميات ووضع البرامج اللازمة لحل تلك المسائل وتقدير الأخطاء المرتكبة.
المصادر الرئيسة للأخطاء
تتضمن كل مسألة من مسائل الحساب العددي معطيات أولية وخوارزميات ونتائج عددية، ويندر أن تكون قيم المعطيات الأولية معلومة بدقة تامة لأنها إما أن تنتج عن قياسات تقرييية لا تخلو من الخطأ، أو عن قوانين وصيغ تقريبية، أو أنها تحتوي على ثوابت يتعذر تحديد قيمها الدقيقة كالعدد π أو e مثلاً.
وكذلك فإن الخوارزميات وطرائق إيجاد الحلول العددية تضيف أخطاءً جديدة سرعان ما تتراكم بسبب تكرار العمليات الحسابية، كما أن النتائج العددية غالباً ما تكون كسرية غير منتهية ولا يمكن التعبير عنها بعدد منته من الأرقام، الأمر الذي يدعو إلى تدوير الأعداد والاكتفاء بعدد من الأرقام يناسب طول جملة الحاسوب، وقد اصطلح على إجراء التدوير بالشكل التالي:
ننظر إلى أول الأرقام المحذوفة (الرقم الأيسر منها)، فإن كان أكبر من 5، أضفنا إلى آخر رقم غير محذوف واحداً، أما إذا كان أول الأرقام المحذوفة أصغر من 5 حافظنا على الأرقام غير المحذوفة دون تغيير، فالعدد 3.75243 يمكن أن يُدوَّر إلى 3.75 والعدد 3.7572 يمكن أن يدوَّر إلى 3.76. أما إذا كان أول الأرقام المحذوفة 5، فإن كان على يمينه أرقام أخرى أضفنا إلى آخر رقم غير محذوف واحداً. وإذا لم يكن على يمينه أرقام أخرى فإننا ندوِّر العدد بحيث يصبح آخر رقم غير محذوف زوجياً فالعدد 3.6752 يمكن أن يدور إلى 3.68 والعدد 3.635 إلى 3.64 والعدد 3.625 إلى 3.62.
الخطأ المطلق
يستدل مما سبق على أنه من الضروري في كثير من الأحيان اعتماد قيمة تقريبية ب عوضاً عن القيمة الدقيقة لعدد ما س0 يسمى الفرق |ب-س| بين القيمة الدقيقة والقيمة التقريبية بالخطأ المطلق، وتحسب عادة قيمة عظمى لهذا الخطأ يرمز لها بـ Î وهي تحدِّد مقدار الدقة في حساب العدد س، فلو وجد مثلاً أن القيمة التقريبية لجذرٍ للمعادلة س3 – س - 1 = 0 هي س = 1.3247 وأن القيمة العظمى للخطأ المرتكب تساوي 5 × 10-5 فإن هذا يعني أن القيمة الدقيقة للجذر س1 محصورة في الفترة (مجال): 1.32465 < س1 < 1.32475
وإذا قيل إن العدد ب = 1.57 مدوَّر، فإن هذا يعني أن القيمة الدقيقة تقع في الفترة 1.565 ³ ب ³ 1.575.
الحساب التقريبي لجذر معادلة
1- طريقة تنصيف الفترة:
إذا كانت الدالة تا(س) مستمرة على الفترة (المجال) [ب،جـ] وتحقق الشرط:
تا(ب) . تا(جـ) < 0 كان للمعادلة تا(س) =0 جذر في الفترة [ب،جـ]. تعتبر القيمة:
إيجاد حل معادلة تفاضلية عند نقطة معينة بشكل تقريبي:
طريقة أولر Euler: لإيجاد حل المعادلة التفاضلية:
ويطبق دستور أولر فتنتج القيم التالية:
ع (0.02) = 1.02
ع (0.04) = 1.0408
ع (0.06) = 1.0624
ع (0.08) = 1.0848
ع (0.1) = 1.1081
وتكون القيمة العظمى للخطأ المرتكب هي:
Î
=
0.002
المراجع
الموسوعة العربية
التصانيف
الأبحاث