فترة (رياضيات)

فترة (رياضيات)

في الرياضيات ، إن الفترة (الحقيقية)، أو المجال، هي عبارة عن مجموعة من الأرقام الحقيقية بحيث أن أي رقم يقع بين رقمين في المجموعة هو أيضا عنصر في تلك المجموعة. على سبيل المثال، مجموعة الأرقام x التي تحقق أن 0 ≤ x ≤ 1 هي فترة تحتوي كلا من 0 و1 ، وكذلك جميع الأرقام بينهما. أمثلة أخرى للفترات هي مجموعة الأرقام الحقيقية، كذلك مجموعة الأرقام الحقيقية السالبة، والمجموعة الفارغة.تلعب الفترات دورًا مهمًا في نظرية التكامل، لأنها أبسط مجموعة يسهل تعريف "حجمها" أو "قياسها" أو "طولها". يمكن بعد ذلك توسيع مفهوم القياس ليشمل مجموعات أكثر تعقيدًا من الأعداد الحقيقية، مما يؤدي إلى قياس بوريل وفي نهاية المطاف إلى مقياس ليبيج.

كما يتم تعريف الفترات على مجموعة اختيارية مرتبة ترتيبا كليا ، مثل الأعداد الصحيحة أو الأرقام الكسرية. يتم مراعاة تدوين الفترات الصحيحة في القسم الخاص أدناه.

المصطلحات

الفترة المفتوحة حيث أنها لا تشمل نقاط النهاية، ويشار إليها بأقواس مدورة "(". على سبيل المثال: (0,1) تعني أكبر من 0 وأقل من 1.

الفترة المغلقة هو عبارة عن فترة تتضمن جميع نقاطها المحددة، ويُشار إليه بأقواس مربعة "]". على سبيل المثال: [0,1] تعني أكبر من أو تساوي 0 وأقل من أو تساوي 1.

وكما تتضمن الفترة نصف المفتوحة واحدة فقط من نقاط النهاية الخاصة بها، ويتم الإشارة إليها عن طريق خلط الرموز للفترة المفتوحة والمغلقة. فمثلا: الفترة (0,1] تعني أكبر من 0 وأقل من أو تساوي 1 ، بينما الفترة [0,1) تعني أكبر من أو تساوي 0 وأقل من 1.

الفترة المتحولة باللغة الانجليزية (degenerate interval) هي أي مجموعة تتكون من رقم حقيقي واحد. ويضع بعض المؤلفين المجموعة الفارغة في هذا التعريف.

وتُسمى الفترة التي ليست فارغة وليست متحولة بالفترة غير المعتلة (proper)، وتحتوي على عدد غير محدود من العناصر.

ويُقال إن الفترة مُحدودة من اليسار (left-bounded) أو مُحدودة من اليمين (right-bounded) إذا كان هناك عدد حقيقي أصغر من أو أكبر من جميع عناصرها على التوالي.

يقال أيضا إن الفترة محدودة (bounded) إذا كانت محدودة يسارًا ويمينًا؛ ويقال أنها غير محدودة إذا كانت خلاف ذلك. يقال إن الفترة المحدودة بنهاية واحدة تكون نصف محدودة. المجموعة الفارغة هي فترة محدودة، ومجموعة كل الأرقام الحقيقية هي الفترة الوحيدة غير المحدودة من كلا الطرفين. تُعرف الفترة المحدودة أيضًا بفترات محددة.

الفترات المحدودة هي عبارة عن مجموعات محدودة، بمعنى أن قطرها (الذي يساوي الفرق المطلق بين نقاط النهاية) محدود. يمكن أن يسمى القطر طول أو عرض أو قياس أو مدى أو حجم الفترة. يُعرَّف حجم الفترة غير المحدودة بأنه +∞ ، ويمكن تعريف حجم الفترة الفارغة على أنه 0.الوسط (النقطة الوسطى) للفترة المحدودة التي نقاط نهايتها هما a وb هو (a + b)/2 ، ونصف القطر هو نصف القيمة المطلقة للفرق بين a وb أي 2/. هذه المفاهيم غير مُعَرَّفة للفترة الفارغة أو الفترة غير المحدودة.

المراجع

areq.net

التصانيف

مجموعة الأعداد الحقيقية  نظرية تراتيب  طوبولوجيا  مجموعات   العلوم البحتة  رياضيات